Qual é o valor de \(\lim_{x\to0}(1+ax)^{1/x}\) para constante real \(a\)?

e^{a}

Explicação:
Tomando logaritmo: \(\ln L=\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+ax)}{x}=a\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+ax)}{ax}.\)
Fazendo a substituição \(t=ax\) tem-se \(t\to0\) e \(\lim_{t\to0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1\). Logo \(\ln L=a\) e \(L=e^{a}\).

Exemplo:
Calcule \(\lim_{x\to0}(1-4x)^{1/x}\).
Faça o logaritmo: \(\ln L=\lim_{x\to0}\frac{\ln(1-4x)}{x}=-4\lim_{x\to0}\frac{\ln(1-4x)}{-4x}=-4\cdot1=-4.\)
Portanto \(L=e^{-4}\).