Quando uma função f é contínua em b?

\(\lim_{x\to b} f(x)=f(b)\)

Explicação:
Exige que \(b\) pertença ao domínio, que o limite exista (as aproximações pela esquerda e pela direita coincidam) e que esse limite seja igual a \(f(b)\).
Em linguagem epsilon–delta: para todo \(\varepsilon>0\) existe \(\delta>0\) tal que, se \(0<|x-b|<\delta\), então \(|f(x)-f(b)|<\varepsilon\).
Equivalente por sequências: se \(x_n\to b\) então \(f(x_n)\to f(b)\).

exemplo:
Considere \(f(x)=\begin{cases}\dfrac{\sin x}{x},&x\neq0\\[4pt]1,&x=0\end{cases}\). Como \(\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1\), tem‑se \(\lim_{x\to0}f(x)=f(0)\), portanto \(f\) é contínua em \(0\).