Como se obtém a equação de um plano a partir de um vetor normal e de um ponto?

Usa-se \( \vec{n}\cdot(\vec{r}-\vec{r_0})=0\), que ao expandir dá \(ax+by+cz+d=0\).

Explicação:
Dado o vetor normal \( \vec{n}=(a,b,c)\) e um ponto \( \vec{r_0}=(x_0,y_0,z_0)\) do plano, qualquer ponto \( \vec{r}=(x,y,z)\) do plano satisfaz \( \vec{n}\cdot(\vec{r}-\vec{r_0})=0\), pois \( \vec{r}-\vec{r_0}\) é ortogonal a \( \vec{n}\). Ao expandir obtém-se a forma cartesiana \(a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0\), equivalente a \(ax+by+cz+d=0\).

exemplo:
Se \( \vec{n}=(2,-1,4)\) e \(P(1,0,2)\), então
\(2(x-1)-1(y-0)+4(z-2)=0\)
\( \Rightarrow 2x-2 - y +4z -8 =0\)
\( \Rightarrow 2x - y + 4z -10 =0\).