Flashcard FC241124
Se \(\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{\sqrt{x}}=L\) com \(L\) finito e \(g(x)\) é limitada, qual é \(\lim_{x\to\infty}\frac{g(x)f(x)}{x}\)?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2012
Se \(\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{\sqrt{x}}=L\) com \(L\) finito e \(g(x)\) é limitada, qual é \(\lim_{x\to\infty}\frac{g(x)f(x)}{x}\)?
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Resposta
0.Justificativa:
Como \(\frac{f(x)}{\sqrt{x}}\to L\) temos \(f(x)=L\sqrt{x}+o(\sqrt{x})\). Sendo \(g(x)\) limitada, então
\(\displaystyle \frac{g(x)f(x)}{x}=\frac{g(x)(L\sqrt{x}+o(\sqrt{x}))}{x}=\frac{L\,g(x)}{\sqrt{x}}+g(x)\,\frac{o(\sqrt{x})}{x}\to0\).
Exemplo:
Considere \(f(x)=2\sqrt{x}+\ln x\) (pois \(\ln x/\sqrt{x}\to0\), então \(\frac{f(x)}{\sqrt{x}}\to2\)) e \(g(x)=\cos(\sqrt{x})\) (limitada).
\(\displaystyle \frac{g(x)f(x)}{x}=\frac{\cos(\sqrt{x})(2\sqrt{x}+\ln x)}{x}=\frac{2\cos(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}+\cos(\sqrt{x})\frac{\ln x}{x}\to0\).
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/235940
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