Quando f'(x0)=f''(x0)=0 e f'''(x0)≠0, qual a classificação do ponto x0?

Inflexão.

Como f é C^∞, perto de x0 temos \(f''(x)=f''(x_0)+f'''(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0)\). Com \(f''(x_0)=0\) e \(f'''(x_0)\neq0\), então \(f''(x)\approx f'''(x_0)(x-x_0)\), que muda de sinal ao atravessar \(x_0\); logo é um ponto de inflexão.

Exemplo:
\(f(x)=x^3+x^4\)
\(f'(x)=3x^2+4x^3,\quad f'(0)=0\)
\(f''(x)=6x+12x^2,\quad f''(0)=0\)
\(f'''(x)=6+24x,\quad f'''(0)=6\neq0\)
Assim, pelo teste, \(x=0\) é ponto de inflexão (pois \(f''(x)\approx6x\) muda de sinal em 0).