Flashcard FC241126
Ao aplicar o método dos coeficientes não determinados a um termo \(Ce^{\alpha x}\), qual palpite usar para \(y_p\) e como ajustá-lo se \(\alpha\) for raiz da equação característica
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2012
Ao aplicar o método dos coeficientes não determinados a um termo \(Ce^{\alpha x}\), qual palpite usar para \(y_p\) e como ajustá-lo se \(\alpha\) for raiz da equação característica de multiplicidade m?
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Resposta
Palpite: \(y_p = x^{m}A e^{\alpha x}\), onde \(m\) é a multiplicidade de \(\alpha\) na equação característica (e \(A\) constante se o termo for apenas exponencial).Explicação:
Se o termo for \(Ce^{\alpha x}\) e \(\alpha\) não for raiz da característica, tenta-se \(y_p=Ae^{\alpha x}\).
Se \(\alpha\) for raiz de multiplicidade \(m\), multiplica-se por \(x^{m}\): \(y_p=x^{m}A e^{\alpha x}\).
Calcule \(y_p',y_p''\) e substitua na EDO para achar \(A\).
exemplo:
Considere \(y''-4y'+4y=5e^{2x}\).
A equação característica é \(r^2-4r+4=(r-2)^2\), logo \(\alpha=2\) é raiz de multiplicidade \(m=2\).
Tenta-se \(y_p = A x^2 e^{2x}\).
Calculando:
\(y_p' = 2A e^{2x}(x+x^2)\),
\(y_p'' = 2A e^{2x}(2x^2+4x+1)\).
Substituindo: \(y''-4y'+4y = A e^{2x}\cdot 2 = 2A e^{2x}\).
Igualando a \(5e^{2x}\) vem \(2A=5\Rightarrow A=\tfrac{5}{2}\).
Assim \(y_p=\tfrac{5}{2}x^2 e^{2x}\).
Veja como foi cobrado:
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