Flashcard FC241127
Qual a relação entre a derivada do polinômio de Taylor de ordem n de uma função infinitamente diferenciável em 0 e o polinômio de Taylor de ordem n-1 de sua derivada?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2012
Qual a relação entre a derivada do polinômio de Taylor de ordem n de uma função infinitamente diferenciável em 0 e o polinômio de Taylor de ordem n-1 de sua derivada?
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Resposta
\(\displaystyle \frac{d}{dx}P^{n}(f)(x)=P^{\,n-1}(f')(x)\)Derivando termo a termo \(P^{n}(f)(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k\) obtemos
\(\displaystyle \frac{d}{dx}P^{n}(f)(x)=\sum_{k=1}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{(k-1)!}x^{k-1}\). Reindexando com \(j=k-1\) resulta em
\(\displaystyle \sum_{j=0}^{n-1}\frac{f^{(j+1)}(0)}{j!}x^{j}\), que é exatamente \(P^{\,n-1}(f')(x)\).
Exemplo:
Se \(f(x)=e^{2x}\) e \(n=3\), então
\(P^{3}(f)(x)=\sum_{k=0}^{3}\frac{(2^k)}{k!}x^k\).
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\(\frac{d}{dx}P^{3}(f)(x)=\sum_{k=1}^{3}\frac{2^k}{(k-1)!}x^{k-1}=\sum_{j=0}^{2}\frac{2^{j+1}}{j!}x^{j}=P^{2}(f')(x)\), pois \(f'(x)=2e^{2x}\).
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/235943
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