Por que autovetores associados a autovalores distintos são linearmente independentes?

Porque qualquer combinação linear não trivial entre eles contradiz a desigualdade dos autovalores, forçando todos os coeficientes a zero.

Explicação:
Suponha \(a_1\vec v_1+\cdots+a_k\vec v_k=\vec 0\) com \(T(\vec v_i)=\lambda_i\vec v_i\) e \(\lambda_i\) distintos. Aplicando \(T\) obtém-se \(a_1\lambda_1\vec v_1+\cdots+a_k\lambda_k\vec v_k=\vec 0\). Subtraindo \(\lambda_j\) vezes a combinação original e usando a distinção dos \(\lambda_i\) chega-se a um sistema que implica \(a_i=0\) para todo \(i\). Assim, são linearmente independentes.

Exemplo:
Considere \(A=\begin{pmatrix}1&1\\[4pt]0&2\end{pmatrix}\). Os autovalores são \(\lambda_1=1,\ \lambda_2=2\).
Para \(\lambda_1=1\): \((A-I)\vec v=0\Rightarrow \vec v_1=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\).
Para \(\lambda_2=2\): \((A-2I)\vec v=0\Rightarrow \vec v_2=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\).
Verifique independência: \(a\vec v_1+b\vec v_2=\vec 0\Rightarrow \begin{pmatrix}a+b\\[4pt]b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}\), então \(b=0\) e \(a=0\). Logo \(\vec v_1,\vec v_2\) são linearmente independentes.