Como se obtém o vetor unitário que produz a maior derivada direcional de uma função f(x,y) num ponto e qual é o valor máximo dessa derivada?

Pelo gradiente: o vetor unitário é \( \dfrac{\nabla f}{|\nabla f|} \) e o valor máximo da derivada direcional é \( |\nabla f| \).

Como proceder:
Calcule \( \nabla f \) no ponto desejado.
Normalize: \( u=\dfrac{\nabla f}{|\nabla f|} \).
A derivada direcional máxima vale \( |\nabla f| \).
Se \( \nabla f=0 \) no ponto, não existe direção de aumento.

exemplo:
Se \(f(x,y)=x^{2}+3y\) e o ponto é \((1,0)\):
\( \nabla f=(2x,3) \Rightarrow \nabla f(1,0)=(2,3). \)
Vetor unitário na direção de máxima variação:
\( u=\dfrac{(2,3)}{\sqrt{2^{2}+3^{2}}}=\dfrac{(2,3)}{\sqrt{13}}. \)
Valor máximo da derivada direcional:
\( |\nabla f(1,0)|=\sqrt{13}. \)