O que implica, para o núcleo e para o posto, que uma transformação linear 3x3 não seja injetora?

Que o núcleo é não trivial e, portanto, o posto da matriz é menor que 3.

Explicação:
Se a transformação não é injetora existe vetor não nulo \( \vec u\) tal que \(A\vec u=\vec 0\).
Logo o núcleo contém vetores não nulos e não é trivial.
Em uma matriz \(3\times3\) isso implica que o posto satisfaz \(\operatorname{rank}(A)\le 2\).

Exemplo:
\(A=\begin{bmatrix}1&0&0\\[4pt]0&1&0\\[4pt]0&0&0\end{bmatrix},\ \vec v_1=\begin{bmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{bmatrix},\ \vec v_2=\begin{bmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]2\end{bmatrix}.\)
Calcula-se \(A\vec v_1=A\vec v_2=\begin{bmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{bmatrix}\).
Tome \(\vec u=\vec v_1-\vec v_2=\begin{bmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]-1\end{bmatrix}\neq\vec 0\); então \(A\vec u=\vec 0\), mostrando núcleo não trivial.
Assim \(\operatorname{rank}(A)=2\) (ou, em qualquer caso, \(<3\)).