Flashcard FC241131
Como verificar se um campo F=(P,Q) em \(\mathbb{R}^2\) é conservativo e como usar sua função potencial para calcular \(\int_C F\cdot dr\) entre dois pontos?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2012
Como verificar se um campo F=(P,Q) em \(\mathbb{R}^2\) é conservativo e como usar sua função potencial para calcular \(\int_C F\cdot dr\) entre dois pontos?
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Resposta
Verificação: verifique se \(\partial P/\partial y=\partial Q/\partial x\) em um domínio simplesmente conectado; então existe \(\phi\) com \(\nabla\phi=F\) e \(\int_C F\cdot dr=\phi(B)-\phi(A)\).Desenvolvimento:
Integre \(P\) em \(x\): \(\phi(x,y)=\int P(x,y)\,dx + g(y)\). Depois imponha \(\partial\phi/\partial y=Q\) para determinar \(g'(y)\) e assim \(g(y)\).
Exemplo:
Considere \(F=(2xy+3,\;x^2+4y)\).
\(\partial P/\partial y=2x,\ \partial Q/\partial x=2x\) → conservativo.
Integre \(P\) em \(x\): \(\phi=\int(2xy+3)\,dx = x^2y+3x+g(y)\).
Impondo \(\partial\phi/\partial y = x^2+g'(y)=Q=x^2+4y\) ⇒ \(g'(y)=4y\) ⇒ \(g(y)=2y^2\).
Logo \(\phi(x,y)=x^2y+3x+2y^2\).
Para calcular \(\int_C F\cdot dr\) de \(A=(0,0)\) a \(B=(1,2)\):
\(\phi(1,2)=1^2\cdot2+3\cdot1+2\cdot2^2=2+3+8=13\), \(\phi(0,0)=0\).
Portanto \(\int_C F\cdot dr=\phi(B)-\phi(A)=13\).
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