Flashcard FC241132
Qual a interpretação geométrica de \( \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})=0\)?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2012
Qual a interpretação geométrica de \( \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})=0\)?
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Resposta
Os vetores \(\vec{u},\vec{v},\vec{w}\) são coplanares.Isso ocorre porque \( \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})\) é o produto misto, cujo valor absoluto é o volume do paralelepípedo formado por \(\vec{u},\vec{v},\vec{w}\).
Se esse produto misto é zero, o volume é nulo, logo os vetores estão contidos num mesmo plano (ou são colineares).
Além disso, \(\vec{v}\times\vec{w}\) é normal ao plano gerado por \(\vec{v},\vec{w}\); a igualdade implica que \(\vec{u}\) é ortogonal a esse normal, isto é, pertence ao mesmo plano.
Exemplo:
Sejam \(\vec{v}=(1,0,0),\ \vec{w}=(1,1,0),\ \vec{u}=(2,3,0)\).
Calcula-se \( \vec{v}\times\vec{w}=(0,0,1)\).
Então \( \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})=(2,3,0)\cdot(0,0,1)=0\).
Como o produto misto é zero, os três vetores estão coplanares (todos no plano \(xy\)).
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