Flashcard FC241133
Quais são as condições que uma sequência de funções deve satisfazer para convergir à Delta de Dirac (na origem) no sentido das distribuições?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2012
Quais são as condições que uma sequência de funções deve satisfazer para convergir à Delta de Dirac (na origem) no sentido das distribuições?
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Resposta
Ser não-negativa, ter integral unitária e concentrar massa na origem: para todo δ>0, \(\int_{|x|\ge\delta} f_n(x)\,dx\to0\).Para qualquer função teste \(\varphi\) contínua, escolhe-se \(\delta>0\) tal que \(|\varphi(x)-\varphi(0)|\) seja pequena em \(|x|<\delta\); a contribuição fora dessa vizinhança é controlada pela condição \(\int_{|x|\ge\delta}f_n\to0\), e assim \(\int f_n\varphi\to\varphi(0)\).
Exemplo:
Considere \(\phi(x)=\dfrac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2}\) com \(\int_{\mathbb{R}}\phi=1\) e defina \(f_n(x)=n\phi(nx)=\dfrac{n}{\sqrt{\pi}}e^{-n^2x^2}\).
Então \(\displaystyle\int_{\mathbb{R}}f_n(x)\,dx=\int_{\mathbb{R}}\phi(y)\,dy=1\) (troca \(y=nx\)).
E para \(\delta>0\), \(\displaystyle\int_{|x|\ge\delta}f_n(x)\,dx=\int_{|y|\ge n\delta}\phi(y)\,dy\to0\) quando \(n\to\infty\).
Logo \(f_n\) satisfaz as condições e converge à \(\delta\) de Dirac na origem.
Veja como foi cobrado:
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