Como obter a forma fechada de uma sequência definida por a₁ = k e a_{n+1} = a_n + (n+1)k?

a_n = k\sum_{j=1}^n j = k\frac{n(n+1)}{2}.

Explicação:
Aplicando a recorrência iterativamente obtém-se
\(a_n=a_1+\sum_{j=2}^{n} j\,k = k\sum_{j=1}^{n} j = k\frac{n(n+1)}{2}.\)

exemplo:
Se \(k=3\) e \(b_1=3,\; b_{n+1}=b_n+(n+1)3\), então
\(b_n=3\frac{n(n+1)}{2}\).
Verificação: \(b_2=b_1+6=9\) e pela fórmula \(3\cdot\frac{2\cdot3}{2}=9\).