Flashcard FC241144
Como ajustar o palpite da solução particular por coeficientes indeterminados quando o termo for \(e^{ax}\) e \(a\) é raiz da equação característica de multiplicidade m?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2012
Como ajustar o palpite da solução particular por coeficientes indeterminados quando o termo for \(e^{ax}\) e \(a\) é raiz da equação característica de multiplicidade m?
Mostrar resposta e comentário
Resposta
Multiplica-se o palpite padrão por \(x^{m}\), onde \(m\) é a multiplicidade da raiz \(r=a\).Explicação:
Se \(a\) é raiz de multiplicidade \(m\) do polinômio característico, o ansatz para o termo \(e^{ax}\) deve ser da forma \(x^{m}P(x)e^{ax}\) (onde \(P\) é o polinômio do grau adequado) para evitar ressonância com as soluções homogêneas.
Exemplo:
Considere \( \;y''-2y'+y=3e^{x}\).
Característica: \((r-1)^2=0\) ⇒ raiz \(r=1\) de multiplicidade \(m=2\).
Logo tentar \(y_p=Ax^2e^{x}\).
Usando \( (D-1)^2(e^{x}f)=e^{x}f''\) com \(f(x)=Ax^2\) temos \(f''=2A\).
Assim \(L(y_p)=2A e^{x}=3e^{x}\Rightarrow A=\tfrac{3}{2}.\)
Portanto a solução geral é \(y=(C_1+C_2x+\tfrac{3}{2}x^2)e^{x}\).
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/235960
Conteúdo do catálogo FC Concursos · Atualizado em