Como determinar os pontos em que a derivada de uma função da forma f(x)=e^x·p(x) atinge seu valor mínimo?

Calcule \(f'(x)=e^x\big(p(x)+p'(x)\big)\). Como e^x>0, minimize o termo \(p(x)+p'(x)\); os pontos que o minimizam são os pontos onde \(f'(x)\) é mínimo.

Explicação:
Calcule a derivada por regra do produto: \(f'(x)=e^x p(x)+e^x p'(x)=e^x\big(p(x)+p'(x)\big)\).
Como \(e^x\) é sempre positivo, a ordem e os extremos de \(f'\) coincidem com os de \(q(x)=p(x)+p'(x)\).
Assim, resolva \(q'(x)=0\) para achar candidatos a extremos de \(q\) e avalie-os (ou verifique zeros de \(q\) quando interessar ao mínimo).

Exemplo:
Se \(p(x)=x^2-2x+2\), então \(p'(x)=2x-2\).
Logo \(p(x)+p'(x)=x^2-2x+2+2x-2=x^2\).
Assim \(f'(x)=e^x x^2\ge 0\) e atinge o mínimo \(0\) em \(x=0\).
O coeficiente angular mínimo é \(0\) (reta tangente horizontal) e a equação da tangente é \(y=f(0)=e^0\cdot p(0)=1\cdot 2=2\), ou seja \(y=2\).