Ao usar coordenadas polares para calcular V = ∬_D f(r)\,dA, como se escreve o integrando e quais são os limites radiais quando a fronteira é r = g(θ)?

V = ∫_{θ1}^{θ2} ∫_{0}^{g(θ)} f(r)\,r\,dr\,dθ; o fator r é o jacobiano e os limites radiais vão de 0 a g(θ).

Exemplo:
Calcule o volume sob z = 3(x^2+y^2) = 3r^2 sobre o disco de raio 2 (r ≤ 2).

Montagem: \(V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}3r^2\cdot r\,dr\,d\theta\).
Integral interna: \(3\int_{0}^{2}r^3\,dr=3\left.\frac{r^4}{4}\right|_{0}^{2}=3\cdot\frac{16}{4}=12\).
Logo: \(V=\int_{0}^{2\pi}12\,d\theta=12\cdot 2\pi=24\pi\).