Como verificar se um campo vetorial em \(\mathbb R^2\) é conservativo e como obter sua função potencial?

Verificação rápida: Verifique se \(P_y=Q_x\) num domínio simplesmente conectado; se sim, existe potencial \(f\).

Procedimento completo:
1) Seja \(\vec F=(P,Q)\) com \(P,Q\in C^1\). Cheque se \(\dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x}\) no domínio (e o domínio é simplesmente conectado).
2) Integre \(P\) em \(x\): \(f(x,y)=\int P(x,y)\,dx + g(y)\).
3) Diferencie em \(y\): \(f_y=\dfrac{\partial}{\partial y}\!\big(\int P\,dx\big)+g'(y)\) e iguale a \(Q\). Resolva para \(g'(y)\) e integre para obter \(g(y)\).
4) \(f\) é a função potencial (até constante); então a integral de linha entre pontos é \(f(\text{fim})-f(\text{início})\).

Exemplo:
Considere \(\vec F=(3x^2-y,\,-x+4y^3)\).
Checagem: \(P_y=-1\) e \(Q_x=-1\Rightarrow P_y=Q_x\) (domínio \(\mathbb R^2\) é simplesmente conectado) ⇒ conservativo.
Integre em \(x\): \(f(x,y)=\int(3x^2-y)\,dx = x^3-xy+g(y)\).
Diferencie em \(y\): \(f_y=-x+g'(y)\). Igualando a \(Q=-x+4y^3\) dá \(g'(y)=4y^3\), logo \(g(y)=y^4+C\).
Potencial: \(f(x,y)=x^3-xy+y^4+C\).
Ex.: integral de linha de \((0,0)\) a \((1,1)\) vale \(f(1,1)-f(0,0)= (1-1+1)-0=1\).