Se uma transformação linear T: \(\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) é sobresjetora mas não injetora, qual relação entre m e n?

\(m\le n-1\).

Pelo teorema do núcleo e da imagem: \( \dim(\mathbb{R}^n)=\dim(\ker T)+\dim(\operatorname{Im}T)\).
Como \(T\) é sobresjetora, \(\dim(\operatorname{Im}T)=m\).
Como não é injetora, \(\dim(\ker T)\ge 1\).
Logo \(n=\dim(\ker T)+m\ge 1+m\), isto é, \(m\le n-1\).

Exemplo:
Considere \(T:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3\) dada por \(T(x)=Ax\) com \[ A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}. \] Aqui \(\operatorname{rank}(A)=3\) (logo \(T\) é sobrejetora) e \(\dim(\ker T)=4-3=1\) (não é injetora).
Portanto \(4=\dim(\ker T)+3\) e \(m=3\le 4-1\).