Qual a forma geral da solução de uma EDO linear homogênea de 2ª ordem com raízes complexas α ± iβ da equação característica?

\(y(x)=e^{\alpha x}\big(A\cos(\beta x)+B\sin(\beta x)\big)\)

Explicação:
Se a equação característica fornece \(\lambda=\alpha\pm i\beta\), então a solução geral é \(y(x)=e^{\alpha x}(A\cos\beta x+B\sin\beta x)\).
Para achar \(A\) e \(B\) usando condições iniciais \(y(0)=y_0\) e \(y'(0)=y_1\):
\(y(0)=A=y_0\).
Derivando: \(y'(x)=e^{\alpha x}\big[(\alpha A+\beta B)\cos\beta x+(\alpha B-\beta A)\sin\beta x\big]\).
Em \(x=0\): \(y'(0)=\alpha A+\beta B\Rightarrow B=\dfrac{y_1-\alpha A}{\beta}\).

Exemplo:
Considere \(y''-2y'+5y=0\). Característica: \(\lambda^2-2\lambda+5=0\Rightarrow\lambda=1\pm 2i\) (\(\alpha=1,\beta=2\)).
Se \(y(0)=2\) e \(y'(0)=0\) então \(A=2\) e \(B=(0-1\cdot2)/2=-1\).
Logo \(\;y(x)=e^{x}\big(2\cos2x-\sin2x\big)\).
Por exemplo, \(y(\pi/4)=e^{\pi/4}\big(2\cos(\pi/2)-\sin(\pi/2)\big)= -e^{\pi/4}.\)