Se o limite de uma razão de polinômios P(x)/Q(x) quando x → +∞ for finito e não nulo, o que deve acontecer com os graus de P e Q e como se calcula o limite?

Os graus devem ser iguais; o limite é a razão dos coeficientes líderes.

Explicação:
Se \(\deg P=n\) e \(\deg Q=n\) e P(x)=a x^n+…, Q(x)=b x^n+…, então
\(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{a}{b}\).
Se \(\deg P>\deg Q\) o limite é \(\pm\infty\); se \(\deg P<\deg Q\) o limite é \(0\).

Exemplo:
Considere \(\displaystyle \frac{5x^4-2x+1}{-7x^4+3x}\). Ambos têm grau 4, então
\(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{5x^4-2x+1}{-7x^4+3x}=\frac{5}{-7}=-\frac{5}{7}.\)
Detalhe: dividindo por \(x^4\): \(\frac{5-2x^{-3}+x^{-4}}{-7+3x^{-3}}\to\frac{5}{-7}.\)