Como se calcula a derivada de \(f(x)=x^x\) para \(x>0\) e qual equação vem dos pontos críticos?

f'(x)=x^x(\ln x+1)

Explicação:
Reescreva \(x^x=e^{x\ln x}\). Aplicando regra da cadeia: \(f'(x)=e^{x\ln x}\cdot\frac{d}{dx}(x\ln x)=x^x(\ln x+1)\).
Como \(x^x>0\) para \(x>0\), os pontos críticos satisfazem \(\ln x+1=0\), ou seja \(x=e^{-1}=\tfrac{1}{e}\).

exemplo:
Considere \(g(x)=x^{3x}\) com \(x>0\).
Reescreva \(g(x)=e^{3x\ln x}\).
Então \(g'(x)=e^{3x\ln x}\cdot\frac{d}{dx}(3x\ln x)=x^{3x}\cdot3(\ln x+1)\).
Os pontos críticos satisfazem \(\ln x+1=0\Rightarrow x=\tfrac{1}{e}\).