Como aplicar a Regra de L'Hôpital repetidas vezes para calcular limites do tipo 0/0 envolvendo funções trigonométricas?

Derive sucessivamente numerador e denominador até eliminar a indeterminação 0/0, lembrando as derivadas trigonométricas (por ex. \( (\tan x)'=\sec^2 x\), \( (\sec x)'=\sec x\tan x\)).

Explicação e exemplo:
Proceda aplicando L'Hôpital quantas vezes forem necessárias; em cada passo calcule as derivadas corretas das funções trigonométricas e avalie o limite quando a indeterminação desaparecer.

Exemplo: Calcule \( \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\tan x - x}{x^3}\).
1) Primeiro passo: \( \frac{\sec^2 x -1}{3x^2}\) — ainda \(0/0\).
2) Segundo passo: \( \frac{2\sec^2 x\tan x}{6x}\) — ainda \(0/0\).
3) Terceiro passo: derive novamente:
\( \displaystyle \frac{4\sec^2 x\tan^2 x + 2\sec^4 x}{6}\).
Avalie em \(x=0\): \(\tan0=0\), \(\sec0=1\), logo o numerador é \(2\) e o denominador \(6\).
Assim, \( \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\tan x - x}{x^3}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.\)