Como se determina f(x) conhecendo f'(x) e uma condição inicial f(a)=b?

Integra-se \(f'(x)\) para obter \(f(x)=\int f'(x)\,dx + C\) e usa-se \(f(a)=b\) para determinar \(C\).

Integração: calcula-se uma primitiva de \(f'(x)\), ou seja \(F(x)=\int f'(x)\,dx\).
Constante: aplica-se a condição inicial \(F(a)+C=b\) para achar \(C=b-F(a)\).
Assim \(f(x)=F(x)+C\).

exemplo: Seja \(f'(x)=3x^2\) e \(f(1)=5\).
\(f(x)=\int 3x^2\,dx = x^3 + C\).
Usando \(f(1)=5\): \(1^3 + C =5 \Rightarrow C=4\).
Logo \(f(x)=x^3+4\) (por exemplo, \(f(2)=2^3+4=12\)).