Quais os passos para determinar o valor máximo de uma função diferenciável em um intervalo fechado?

Encontrar os pontos críticos (onde \(f'(x)=0\) ou \(f'\) não existe) e também avaliar os extremos do intervalo; comparar os valores de \(f\) nesses pontos para achar o maior.

Passos:
1. Calcule \(f'(x)\) e ache os pontos críticos.
2. Opcional: use \(f''(x)\) para classificar os extremos locais.
3. Avalie \(f\) nos pontos críticos e nas extremidades \([a,b]\).
4. O maior desses valores é o máximo no intervalo.

Exemplo:
Considere \(f(x)=x^3-6x^2+9x\) em \([0,4]\).
\(f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)\) → pontos críticos \(x=1,3\).
\(f''(x)=6x-12\) → \(f''(1)=-6<0\) (máx. local), \(f''(3)=6>0\) (mín. local).
Avalie: \(f(0)=0\), \(f(1)=1-6+9=4\), \(f(3)=27-54+27=0\), \(f(4)=64-96+36=4\).
Comparando, o valor máximo em \([0,4]\) é \(\;4\;\), atingido em \(x=1\) e \(x=4\).