Flashcard FC241158
Como se resolve por separação a EDO da forma dy/dx = f(x)·y e quando a solução tende a zero quando x→+∞?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2012
Como se resolve por separação a EDO da forma dy/dx = f(x)·y e quando a solução tende a zero quando x→+∞?
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Resposta
y(x)=C e^{\int f(x)\,dx}; se \(\int^x f(t)\,dt\to -\infty\) para \(x\to+\infty\) e \(C\) é finito então \(y(x)\to0\).Explicação e exemplo:
Separe variables: \(\dfrac{dy}{y}=f(x)\,dx\).
Integre: \(\ln|y|=\int f(x)\,dx + K\).
Exponencie: \(y=C e^{\int f(x)\,dx}\) com \(C=e^{K}\).
Se a primitiva \(\int^x f(t)\,dt\) tende a \(-\infty\) quando \(x\to+\infty\), então o exponencial decai para 0 e \(y(x)\to0\).
Exemplo:
Considere \(\dfrac{dy}{dx}=-2x\,y\) com \(y(0)=3\).
\(\dfrac{dy}{y}=-2x\,dx\) ⇒ \(\ln|y|=-x^2+K\) ⇒ \(y=C e^{-x^2}\).
Com \(y(0)=3\) temos \(C=3\).
Como \(-x^2\to -\infty\) quando \(x\to+\infty\), segue \(y(x)=3e^{-x^2}\to0\).
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