Flashcard FC241159
Qual é o critério de convergência para séries cujos termos são assintoticamente proporcionais a \(n^{p}\)?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2012
Qual é o critério de convergência para séries cujos termos são assintoticamente proporcionais a \(n^{p}\)?
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Resposta
\(\sum a_n\) com \(a_n\sim n^{p}\) converge se, e somente se, \(p<-1\).Se \(a_n\sim n^{p}\) então compara-se com a p-série \(\sum n^{p}\).
Logo a convergência ocorre quando o expoente satisfaz \(p<-1\); caso contrário a série diverge.
Exemplo:
Considere \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{n^6+5}\).
Para \(n\) grande, \(\dfrac{n^2}{n^6+5}\sim n^{2-6}=n^{-4}\).
Como \(-4<-1\), a série converge.
Exemplo:
\(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{n^{3/2}+1}\sim n^{1-3/2}=n^{-1/2}\).
Como \(-\tfrac{1}{2}>-1\), essa série diverge.
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