Como se calcula \(\int_{-a}^a f(x)\,dx\) quando \(f\) é função par?

Resposta

Se f é par: \( \int_{-a}^a f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx.\)

Justificativa: pela linearidade da integral e pela simetria de uma função par \(f(-x)=f(x)\), os valores em \([-a,0]\) e \([0,a]\) são iguais, portanto somam o dobro da integral em \([0,a]\).

Exemplo:
Calcule \( \int_{-2}^2 (x^2-4)\,dx.\)
Usando paridade: \( \int_{-2}^2 (x^2-4)\,dx = \int_{-2}^2 x^2\,dx - 4\int_{-2}^2 1\,dx\)
\(= 2\int_0^2 x^2\,dx - 4\cdot 2\int_0^2 1\,dx\)
\(= 2\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^2 - 8\left[x\right]_0^2\)
\(= 2\cdot\dfrac{8}{3} - 8\cdot 2 = \dfrac{16}{3} - 16 = -\dfrac{32}{3}.\)