Flashcard FC241166
Como o Teorema de Rolle e o grau/coeficiente líder de um polinômio f determinam o número mínimo de raízes reais de f' e seu comportamento em ±∞?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2012
Como o Teorema de Rolle e o grau/coeficiente líder de um polinômio f determinam o número mínimo de raízes reais de f' e seu comportamento em ±∞?
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Resposta
Pelo Teorema de Rolle, existe pelo menos uma raiz de f' entre cada par de raízes simples consecutivas de f; o grau n de f faz f' ter grau n−1 e o coeficiente líder de f' (n vezes o coeficiente líder de f) determina o sinal do termo dominante, definindo o comportamento em ±∞.
Explicação completa:
Se f é um polinômio de grau n com raízes reais simples e ordenadas x1f', garantindo ≥(k−1) raízes de f' nesses intervalos. Além disso, se o coeficiente líder de f é a, o coeficiente líder de f' é n·a, então o comportamento assintótico de f' em ±∞ é dado pelo sinal de n·a (por exemplo, se n·a>0, f'→+∞ quando x→±∞ para n−1 par nas caudas apropriadas).
Exemplo:
Considere \(p(x)=x(x-1)(x+2)=x^3+x^2-2x\), com raízes simples em -2, 0, 1.
Calculando a derivada: \(p'(x)=3x^2+2x-2\).
Por Rolle, existem pelo menos duas raízes de \(p'\) nos intervalos \((-2,0)\) e \((0,1)\).
Resolvendo \(p'(x)=0\): \(x=\dfrac{-2\pm\sqrt{4+24}}{6}=\dfrac{-2\pm2\sqrt7}{6}=\dfrac{-1\pm\sqrt7}{3}\), que são aproximadamente \(-1{,}215\) e \(0{,}549\), coincidindo com os intervalos previstos.
Além disso, o coeficiente líder de \(p\) é 1 (n=3), então o coeficiente líder de \(p'\) é \(3\cdot1=3>0\), o que determina o comportamento dominante de \(p'\) em ±∞.
Veja como foi cobrado:
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