Flashcard FC241167
Qual é a fórmula da área de superfície gerada pela rotação de y=f(x) em torno do eixo x e quais são os passos iniciais para aplicá‑la?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2012
Qual é a fórmula da área de superfície gerada pela rotação de y=f(x) em torno do eixo x e quais são os passos iniciais para aplicá‑la?
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Resposta
\(A=2\pi\displaystyle\int_a^b f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx\)Calcule \(f'(x)\), substitua na integral, simplifique o integrando e resolva (use mudança de variável quando conveniente).
Explicação e exemplo:
1) Calcule \(f'(x)\).
2) Forme \(f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}\) e monte \(A=2\pi\int_a^b \cdots dx\).
3) Simplifique o integrando e integre (substituição se necessário).
Exemplo: Seja \(f(x)=x\) em \([0,1]\).
\(f'(x)=1\).
Integrando: \(A=2\pi\int_0^1 x\sqrt{1+1^2}\,dx=2\pi\sqrt2\int_0^1 x\,dx\).
Calculando: \(2\pi\sqrt2\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^1=2\pi\sqrt2\cdot\dfrac{1}{2}=\pi\sqrt2\).
Veja como foi cobrado:
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