Flashcard FC241169
Como determinar a equação de um plano paralelo a outro dado que seja tangente a uma esfera com centro conhecido?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2012
Como determinar a equação de um plano paralelo a outro dado que seja tangente a uma esfera com centro conhecido?
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Resposta
Usa-se o mesmo vetor normal e escolhe-se o termo constante d de modo que a distância do centro ao plano seja igual ao raio.Passos:
1. Se o plano dado é \(ax+by+cz+d_0=0\), o plano paralelo tem forma \(ax+by+cz+d=0\) (mesmo vetor normal \(\langle a,b,c\rangle\)).
2. Para esfera com centro \(C=(x_0,y_0,z_0)\) e raio \(r\), imponha a condição de tangência: \(\dfrac{|a x_0+b y_0+c z_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=r\).
3. Resolva para \(d\): \(d= - (a x_0+b y_0+c z_0)\pm r\sqrt{a^2+b^2+c^2}\).
Exemplo:
Se o plano base é \(3x-y+2z+7=0\) (vetor normal \(\langle3,-1,2\rangle\)) e a esfera é \((x-1)^2+(y-2)^2+(z+1)^2-25=0\) (centro \(C=(1,2,-1)\), \(r=5\)), então:
\(a x_0+b y_0+c z_0=3\cdot1+(-1)\cdot2+2\cdot(-1)=-1\), \(\|n\|=\sqrt{3^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{14}\).
Impondo tangência: \(|-1+d|=5\sqrt{14}\) ⇒ \(d=1\pm5\sqrt{14}\).
Portanto os planos tangentes paralelos são
\(3x-y+2z+(1+5\sqrt{14})=0\) e \(3x-y+2z+(1-5\sqrt{14})=0\).
Veja como foi cobrado:
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