Qual condição deve ocorrer nas fronteiras de definição para que uma função por partes seja derivável?

Que seja contínua no ponto e que as derivadas laterais sejam iguais.

Explicação:
Para ser derivável em um ponto de transição, primeiro exige-se continuidade: os valores dos dois ramos coincidem nesse ponto.
Em seguida exige-se igualdade das derivadas laterais (esquerda e direita) nesse ponto, garantindo uma única inclinação tangente.

exemplo:
Considere \(f(x)=\begin{cases}\sin x,&x\le 0\\ ax+b,&x>0\end{cases}\).
Continuidade em 0: \(\sin 0=0=b\Rightarrow b=0\).
Derivadas laterais em 0: esquerda \(\cos 0=1\), direita \(a\Rightarrow a=1\).
Logo \(a=1,b=0\) e a função é derivável em 0.