Por que basta avaliar os vértices para maximizar uma função linear sobre uma região poligonal convexa?

Porque uma função linear atinge seu extremo em um vértice do polígono convexo.

Explicação:
As retas de nível de uma função linear são paralelas; ao deslizar uma reta de nível sobre a região viável, o último ponto de contato ocorre num vértice da região.
A convexidade impede máximos internos ou em segmentos abertos, portanto é suficiente testar apenas os vértices do polígono convexo para encontrar o máximo.

exemplo:
Maximizar \(f(x,y)=2x+5y\) sujeito a \(x\ge0,\;y\ge0,\;x+y\le6,\;2x+y\le8\).
Vértices da região viável: \((0,0),(0,6),(2,4),(4,0)\).
Avaliações: \(f(0,0)=0\), \(f(0,6)=30\), \(f(2,4)=24\), \(f(4,0)=8\).
Logo o máximo é \(30\) em \((0,6)\).