Flashcard FC241177
Como aplicar a propriedade de translação da Transformada Z para escrever \(\mathcal{Z}\{x(n+k)\}\) em termos de \(X(z)\) e das condições iniciais?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2011
Como aplicar a propriedade de translação da Transformada Z para escrever \(\mathcal{Z}\{x(n+k)\}\) em termos de \(X(z)\) e das condições iniciais?
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Resposta
Usa-se a fórmula \( \mathcal{Z}\{x(n+k)\}=z^k\Big[X(z)-\sum_{m=0}^{k-1}x(m)z^{-m}\Big]\), substitui-se na recorrência e resolve-se algebricamente para \(X(z)\).Explicação e exemplo:
Aplicar \(\mathcal{Z}\{\cdot\}\) à recorrência e usar a propriedade da translação para cada termo deslocado.
Exemplo: para \(x(n+2)=3x(n+1)-2x(n)\) com \(x(0)=2,\;x(1)=1\):
\(z^2\big[X(z)-x(0)-x(1)z^{-1}\big]=3z\big[X(z)-x(0)\big]-2X(z)\)
\( \Rightarrow z^2X(z)-z^2x(0)-zx(1)=3zX(z)-3zx(0)-2X(z)\)
Agrupando em \(X(z)\): \(X(z)(z^2-3z+2)=z^2x(0)+zx(1)-3zx(0)\)
Substituindo \(x(0)=2,x(1)=1\): RHS \(=2z^2+z-6z=2z^2-5z\)
Logo \( \displaystyle X(z)=\frac{2z^2-5z}{z^2-3z+2}\).
Veja como foi cobrado:
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