Como reconhecer que uma matriz 2×2 é uma rotação no plano e como determinar seu ângulo?

Resposta: Compare com \( \begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\[2pt]\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}\); então \(\cos\theta=a_{11}\), \(\sin\theta=a_{21}\) e \(\theta=\operatorname{atan2}(a_{21},a_{11})\).

Explicação:
Uma matriz é rotação própria se suas colunas são ortonormais (\(R^TR=I\)) e \(\det R=1\).
Em prática, basta verificar que os elementos se encaixam na forma \(\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}\); então o ângulo é obtido por \(\theta=\arccos(a_{11})\) (ou melhor por \(\theta=\operatorname{atan2}(a_{21},a_{11})\) para obter o quadrante correto).

Exemplo:
Considere a rotação de 45°: \(R=\begin{bmatrix}\tfrac{\sqrt2}{2}&-\tfrac{\sqrt2}{2}\\[2pt]\tfrac{\sqrt2}{2}&\tfrac{\sqrt2}{2}\end{bmatrix}\).
Aplicando em \((2,0)\): \(R\begin{bmatrix}2\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\cdot\tfrac{\sqrt2}{2}\\[2pt]2\cdot\tfrac{\sqrt2}{2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\sqrt2\\[2pt]\sqrt2\end{bmatrix}\), mostrando a rotação de 45° no sentido anti‑horário.