Como se obtém a matriz da composição \(T_2\circ T_1\) a partir das matrizes de \(T_1\) e \(T_2\)?

Multiplicando as matrizes: \(\;M(T_2\circ T_1)=M(T_2)\,M(T_1).\)

Explicação:
Se \(M(T_1)\) é \(m\times n\) e \(M(T_2)\) é \(p\times m\), então \(M(T_2)M(T_1)\) é \(p\times n\).
Cada coluna da matriz composta é a imagem dos vetores canônicos de \(\mathbb R^n\) pela composição, isto é, \(M(T_2\circ T_1)\) tem colunas \(T_2(T_1(e_j))\).

Exemplo:
Se \(T_1:\mathbb R^2\to\mathbb R^3\) tem matriz \(A=\begin{bmatrix}1&2\\0&1\\3&0\end{bmatrix}\) e \(T_2:\mathbb R^3\to\mathbb R^2\) tem \(B=\begin{bmatrix}1&0&2\\0&1&1\end{bmatrix}\), então
\(M(T_2\circ T_1)=B\,A=\begin{bmatrix}1&0&2\\0&1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2\\0&1\\3&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7&2\\3&1\end{bmatrix}.\)
Verificando por colunas: \(A\) tem colunas \(a_1=(1,0,3)\), \(a_2=(2,1,0)\).
\(B\,a_1=(7,3),\;B\,a_2=(2,1)\), que são as colunas de \(\begin{bmatrix}7&2\\3&1\end{bmatrix}\).