Flashcard FC241181
O que a integral definida \(\int_a^b f(x)\,dx\) representa: área algébrica (sinalizada) ou área geométrica? Como obter a área geométrica entre a curva e o eixo \(x\)?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2011
O que a integral definida \(\int_a^b f(x)\,dx\) representa: área algébrica (sinalizada) ou área geométrica? Como obter a área geométrica entre a curva e o eixo \(x\)?
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Resposta
A integral definida \(\int_a^b f(x)\,dx\) é a área algébrica; a área geométrica obtém‑se por \(\int_a^b |f(x)|\,dx\).Explicação:
A integral soma as contribuições com sinal: partes acima do eixo \(x\) são positivas e partes abaixo são negativas. Para a área geométrica soma‑se o módulo dessas contribuições, isto é, integra‑se \(|f(x)|\) ou divide‑se o intervalo onde \(f\) mantém sinal e soma‑se os módulos das integrais parciais.
Exemplo:
Considere \(g(x)=x-1\) em \([0,3]\). Zero em \(x=1\).
\(\displaystyle \int_0^3 (x-1)\,dx=\left[\frac{x^2}{2}-x\right]_0^3=\frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}.\)
Área geométrica: \(\displaystyle \left|\int_0^1 (x-1)\,dx\right|+\int_1^3 (x-1)\,dx=\left|\frac{1}{2}-1\right|+\left(\frac{9}{2}-3-\frac{1}{2}+1\right)=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}.\)
Logo, a integral assinada é \(\tfrac{3}{2}\) e a área geométrica é \(\tfrac{5}{2}\).
Veja como foi cobrado:
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