Qual a relação entre o sinal de \(f'\) e os intervalos de crescimento/decrescimento de \(f\), e o que indica \(f'(c)=0\)?

f'>0 ⇒ f crescente; f'<0 ⇒ f decrescente; f'(c)=0 indica tangente horizontal e possível extremo.

Explicação e exemplo:
Se a derivada é positiva num intervalo, a função sobe ali; se negativa, a função desce. Zeros da derivada correspondem a pontos onde a tangente é horizontal e podem ser máximos, mínimos ou pontos de inflexão dependendo da troca de sinal de \(f'\).

Exemplo: Considere \(f(x)=x^3-3x\).
Derivada: \(f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)\).
Zeros: \(x=\pm1\) (tangentes horizontais).
Signo: para \(-11\), \(x^2-1>0\) ⇒ \(f'(x)>0\) (cresce).
Logo, em \(x=-1\) ocorre troca de crescente→decrescente (máximo local) e em \(x=1\) troca decrescente→crescente (mínimo local).