Em uma transformação linear T: U → V entre espaços vetoriais de dimensão finita, qual é a relação entre dim(U), dim(Ker(T)) e dim(Im(T))?

Explicação e exemplo:
Este é o Teorema do Núcleo e da Imagem (rank–nullity).

Exemplo: Seja \(S:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^2\) dada por \(S(x,y,z,w)=(x+y+z+w,\;x+y+z+w)\).
O núcleo é \(\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4: x+y+z+w=0\}\), portanto \(\dim(\ker S)=3\).
Como \(\dim(\mathbb{R}^4)=4\), temos \(\dim(\operatorname{Im}S)=4-3=1\).
De fato, \(\operatorname{Im}S=\text{span}\{(1,1)\}\).