Flashcard FC241190
Como provar que o limite de uma função de duas variáveis em um ponto não existe usando caminhos?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2011
Como provar que o limite de uma função de duas variáveis em um ponto não existe usando caminhos?
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Resposta
Encontrando dois caminhos cujo limite ao ponto seja diferente.Se os limites ao longo de dois caminhos que tendem ao mesmo ponto são distintos, o limite total não existe. Mesmo que todas as retas \(y=ax\) deem o mesmo valor, é preciso testar caminhos não-lineares.
exemplo:
Considere \(f(x,y)=\dfrac{x^2y}{x^4+y^2}\).
Ao longo das retas \(y=ax\):
\(f(x,ax)=\dfrac{x^2(ax)}{x^4+a^2x^2}=\dfrac{a x^3}{x^2(x^2+a^2)}=\dfrac{a x}{x^2+a^2}\to0\) quando \(x\to0\).
Mas ao longo da parábola \(y=x^2\):
\(f(x,x^2)=\dfrac{x^2\cdot x^2}{x^4+x^4}=\dfrac{x^4}{2x^4}=\tfrac{1}{2}\).
Como \(0\neq\tfrac{1}{2}\), os limites por caminhos diferentes são distintos; portanto \(\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)\) não existe.
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/236006
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