Como encontrar e classificar um extremo de uma função diferenciável em \(\mathbb{R}_+^*\) usando derivadas?

Derive a função, resolva f'(x)=0 no domínio, use f''(x) (ou sinal de f') para classificar e compare limites nas fronteiras para decidir se é mínimo global.


Exemplo:
Seja \(f(x)=x\ln x,\;x>0\).
\(f'(x)=\ln x+1\). Resolver \(f'(x)=0\Rightarrow \ln x=-1\Rightarrow x=\tfrac{1}{e}.\)
\(f''(x)=\dfrac{1}{x}\Rightarrow f''\!\left(\tfrac{1}{e}\right)=e>0\), logo é mínimo local.
Avalia-se \(f\) em \(x=\tfrac{1}{e}\): \(f\!\left(\tfrac{1}{e}\right)=\tfrac{1}{e}\ln\!\left(\tfrac{1}{e}\right)=\tfrac{1}{e}(-1)=-\tfrac{1}{e}.\)
Como \(\lim_{x\to0^+}x\ln x=0\) e \(\lim_{x\to\infty}x\ln x=+\infty\), esse mínimo é global e vale \(-\tfrac{1}{e}\).