Em que condição, para f diferenciável, g(x)=|f(x)| não é diferenciável em um ponto x0 com f(x0)=0?

Quando f(x0)=0 e f'(x0)≠0 — há troca de sinal e as derivadas laterais de g são opostas.

Explicação:
Se f(x0)=0 e, perto de x0, f muda de sinal, então localmente
g(x)=|f(x)|={ f(x) para um lado, −f(x) para o outro }.
Assim as derivadas laterais são g'_+(x0)=f'(x0) e g'_-(x0)=-f'(x0), que só coincidem se f'(x0)=0.

Exemplo:
1) \(f(x)=x\) em \(x_0=0\): \(f'(0)=1\). Então \(g(x)=|x|\) tem \(g'_-(0)=-1\) e \(g'_+(0)=1\) → não diferenciável.
2) \(f(x)=x^3\) em \(x_0=0\): \(f'(0)=0\). Então \(g(x)=|x^3|=|x|^3\), e \(g'_-(0)=g'_+(0)=0\) → diferenciável.