Flashcard FC241194
Como calcular geometricamente uma integral definida quando a função é não positiva no intervalo?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2011
Como calcular geometricamente uma integral definida quando a função é não positiva no intervalo?
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Resposta
O valor é o negativo da área da região entre a curva e o eixo x no intervalo.Explicação:
Se \(f(x)\le 0\) em \([a,b]\), então \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = -\text{Área da região entre a curva e o eixo $x$}\). Usa-se a fórmula geométrica apropriada para essa área (triângulo, retângulo, setor circular etc.).
Exemplo:
Calcule \(\displaystyle\int_0^2 -x\,dx\).
A região é um triângulo com base \(2\) e altura \(2\), então a área é \(\tfrac{1}{2}\cdot2\cdot2=2\).
Portanto \(\displaystyle\int_0^2 -x\,dx = -2\).
Algebricamente: \(\displaystyle\int_0^2 -x\,dx = -\int_0^2 x\,dx = -\left[\tfrac{x^2}{2}\right]_0^2 = -2\).
Veja como foi cobrado:
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