Flashcard FC241196
De acordo com o assunto Matemática: Tópicos de Matemática (Ensino Superior), responda: Calcule \(\displaystyle\int_a^b \frac{k}{x}\,dx\) e reescreva o resultado usando propriedades
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2011
Calcule \(\displaystyle\int_a^b \frac{k}{x}\,dx\) e reescreva o resultado usando propriedades dos logaritmos.
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Resposta
\(k\ln\!\frac{b}{a}=\ln\!\left(\frac{b}{a}\right)^k\)
Separando a constante: \(\displaystyle\int_a^b \frac{k}{x}\,dx = k\int_a^b \frac{1}{x}\,dx\).
Primitiva de \(\frac{1}{x}\) é \(\ln|x|\); em \(\mathbb{R}_+^*\) usamos \(\ln x\).
Logo: \(k(\ln b-\ln a)=k\ln\!\frac{b}{a}\).
Aplicando a propriedade \(c\ln u=\ln u^c\) obtemos \(\ln\!\left(\frac{b}{a}\right)^k\).
exemplo:
\(\displaystyle\int_{1}^{4}\frac{3}{x}\,dx=3(\ln4-\ln1)=3\ln4=\ln(4^3)=\ln64.\)
Separando a constante: \(\displaystyle\int_a^b \frac{k}{x}\,dx = k\int_a^b \frac{1}{x}\,dx\).
Primitiva de \(\frac{1}{x}\) é \(\ln|x|\); em \(\mathbb{R}_+^*\) usamos \(\ln x\).
Logo: \(k(\ln b-\ln a)=k\ln\!\frac{b}{a}\).
Aplicando a propriedade \(c\ln u=\ln u^c\) obtemos \(\ln\!\left(\frac{b}{a}\right)^k\).
exemplo:
\(\displaystyle\int_{1}^{4}\frac{3}{x}\,dx=3(\ln4-\ln1)=3\ln4=\ln(4^3)=\ln64.\)
Veja como foi cobrado:
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