Flashcard FC241197
Se f é C^∞ em 0 e existe m∈N tal que |f(x)| ≤ C|x|^m para todo x próximo de 0, o que se pode afirmar sobre f^{(k)}(0) para k=0,1,...,m-1?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2011
Se f é C^∞ em 0 e existe m∈N tal que |f(x)| ≤ C|x|^m para todo x próximo de 0, o que se pode afirmar sobre f^{(k)}(0) para k=0,1,...,m-1?
Mostrar resposta e comentário
Resposta
f^{(k)}(0)=0 para todo k=0,1,...,m-1.Explicação:
Seja kk, tem \(\left|\dfrac{f(x)}{x^{k}}\right|\le C|x|^{m-k}\to0\), logo \(\dfrac{f^{(k)}(0)}{k!}=0\) e assim \(f^{(k)}(0)=0\).
Exemplo:
Considere hipótese \(|f(x)|\le |x|^{5}\). Então para k=0,1,2,3,4 vale \(f^{(k)}(0)=0\). Por exemplo, para k=3, pela Taylor: \(f(x)=\dfrac{f^{(3)}(0)}{6}x^{3}+o(x^{3})\). Dividindo por \(x^{3}\) e usando \(|f(x)/x^{3}|\le |x|^{2}\to0\) segue \(\dfrac{f^{(3)}(0)}{6}=0\), isto é \(f^{(3)}(0)=0\).
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/236013
Conteúdo do catálogo FC Concursos · Atualizado em