Flashcard FC241201
Qual é a fórmula iterativa do método de Newton‑Raphson e que condição sobre f' é exigida?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2011
Qual é a fórmula iterativa do método de Newton‑Raphson e que condição sobre f' é exigida?
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Resposta
x_{n+1}=x_n-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}, com f'(x_n)\ne0 e f diferenciável; chute inicial próximo garante convergência quadrática.Em detalhe:
\(x_{n+1}=x_n-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}\)
É preciso que f seja diferenciável e que f'(x_n)≠0 em cada iteração; se o chute inicial for suficientemente próximo da raiz, a convergência é, em geral, quadrática.
exemplo:
Considere \(f(x)=x^2-2\) (raiz \(\sqrt{2}\)).
\(f'(x)=2x\). Tome \(x_0=1.5\).
\(x_1=1.5-\dfrac{1.5^2-2}{2\cdot1.5}=1.4166666667\).
\(x_2=1.4166666667-\dfrac{1.4166666667^2-2}{2\cdot1.4166666667}\approx1.4142156863\).
Observa‑se a rápida aproximação a \(\sqrt{2}\approx1.41421356\).
Veja como foi cobrado:
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