Como se resolve uma equação diferencial do tipo dy/dx = y·g(x) por separação de variáveis?

Separe variáveis: \(\dfrac{dy}{y}=g(x)\,dx\), integre: \(\ln|y|=\int g(x)\,dx+C\), logo \(y=C'e^{\int g(x)\,dx}\).

Procedimento:
1) Isolar \(y\) em um lado: escreva \(\dfrac{dy}{y}=g(x)\,dx\).
2) Integrar ambos os lados: \(\ln|y|=\int g(x)\,dx+C\).
3) Exponenciar para obter \(y=C'e^{\int g(x)\,dx}\).

Exemplo:
Considere \(\dfrac{dy}{dx}=(2x+1)\,y\).
Separe: \(\dfrac{dy}{y}=(2x+1)\,dx\).
Integre: \(\ln|y|=\int(2x+1)\,dx=x^{2}+x+C\).
Exponenciando: \(y=C'e^{x^{2}+x}\), que é a família de soluções.