Flashcard FC241207
Como expressar a diferença \( \lambda_1-\lambda_2 \) de autovalores reais de uma matriz 2×2 em função do traço e do determinante da matriz?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2011
Como expressar a diferença \( \lambda_1-\lambda_2 \) de autovalores reais de uma matriz 2×2 em função do traço e do determinante da matriz?
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Resposta
\( \lambda_1-\lambda_2=\sqrt{(\operatorname{tr}A)^2-4\det A}\)Justificativa:
Para uma matriz 2×2, \( \lambda_1+\lambda_2=\operatorname{tr}A\) e \( \lambda_1\lambda_2=\det A\).
Logo \((\lambda_1-\lambda_2)^2=(\lambda_1+\lambda_2)^2-4\lambda_1\lambda_2=(\operatorname{tr}A)^2-4\det A\), e tomando raiz positiva obtemos a diferença.
Exemplo:
Considere \(A=\begin{pmatrix}0&1\\-2&5\end{pmatrix}\).
Temos \( \operatorname{tr}A=5\) e \(\det A=0\cdot5-1\cdot(-2)=2\).
Calcule: \( (\operatorname{tr}A)^2-4\det A=25-8=17\).
Portanto \( \lambda_1-\lambda_2=\sqrt{17}\) e os autovalores são \( \lambda=\dfrac{5\pm\sqrt{17}}{2}\).
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