Flashcard FC241208
Como integrar \(e^{ax+b}\) e usar uma condição inicial \(F(x_0)=F_0\) para determinar a constante da primitiva?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CESGRANRIO · 2011
Como integrar \(e^{ax+b}\) e usar uma condição inicial \(F(x_0)=F_0\) para determinar a constante da primitiva?
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Resposta
Fórmula e ajuste da constante:\( \int e^{ax+b}\,dx=\dfrac{1}{a}e^{ax+b}+C\).
Com condição: \(C=F_0-\dfrac{1}{a}e^{ax_0+b}\).
Para integrar, faça a substituição \(u=ax+b\), então \(du=a\,dx\) e \(dx=\tfrac{1}{a}du\), resultando em \( \int e^{u}\tfrac{1}{a}du=\tfrac{1}{a}e^{u}+C\), voltando para \(x\) obtém-se \(\tfrac{1}{a}e^{ax+b}+C\).
Para encontrar \(C\) aplique \(F(x_0)=F_0\) e isole \(C\): \(C=F_0-\tfrac{1}{a}e^{ax_0+b}\).
exemplo: Calcular \(F(x)=\int e^{2x-4}\,dx\) sabendo \(F(1)=e^{-2}\).
\(F(x)=\tfrac{1}{2}e^{2x-4}+C\).
Aplicando \(x=1\): \(\tfrac{1}{2}e^{2\cdot1-4}+C=\tfrac{1}{2}e^{-2}+C=e^{-2}\).
Logo \(C=e^{-2}-\tfrac{1}{2}e^{-2}=\tfrac{1}{2}e^{-2}\).
Portanto \(F(x)=\tfrac{1}{2}e^{2x-4}+\tfrac{1}{2}e^{-2}=\tfrac{1}{2}e^{-4}\bigl(e^{2x}+e^{2}\bigr)\).
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