Como obter os autovalores de uma matriz 2×2 e determinar a diferença \(λ_1-λ_2\) em termos dos elementos da matriz?

Calcule \(\det(A-\lambda I)=0\); para \(A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\) tem-se \(\lambda=\dfrac{a+d\pm\sqrt{(a-d)^2+4bc}}{2}\) e \(\lambda_1-\lambda_2=\sqrt{(a-d)^2+4bc}.\div

Explicação:
O polinômio característico de \(A\) é \(\lambda^2-(a+d)\lambda+(ad-bc)=0\).
O discriminante é \(\Delta=(a+d)^2-4(ad-bc)=(a-d)^2+4bc\).
Logo \(\lambda_{1,2}=\dfrac{a+d\pm\sqrt{\Delta}}{2}\) e, tomando \(\lambda_1>\lambda_2\), \(\lambda_1-\lambda_2=\sqrt{\Delta}=\sqrt{(a-d)^2+4bc}.\br>
Exemplo:
Se \(A=\begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix}\), então \(a=2,b=1,c=4,d=3\).
Calcula-se \((a-d)^2+4bc=(2-3)^2+4\cdot1\cdot4=1+16=17\).
Assim \(\lambda_{1,2}=\dfrac{5\pm\sqrt{17}}{2}\) e \(\lambda_1-\lambda_2=\sqrt{17}.\)